Paiements et probabilités au blackjack

Comme tout jeu de hasard, le blackjack comporte un avantage intégré pour le casino : sur une session, un joueur peut finir gagnant, mais sur la durée vous rendrez inévitablement une partie de tout ce que vous misez. Le montant exact de vos pertes dépend à la fois des règles de la table en question¹ et de la taille de l’échantillon (plus vous jouez longtemps, moins la variance pèse — et plus vos pertes se rapprochent de la moyenne). Les joueurs qui veulent comprendre leur jeu favori dans ses moindres détails tiennent pourtant à savoir précisément comment fonctionnent, d’un point de vue mathématique, les paiements et les probabilités du blackjack. C’est cette analyse détaillée que nous tentons de proposer ici.

Les paiements au blackjack : 3:2 contre 6:5

Écartons d’emblée les paris annexes (side bets) — c’est un sujet à part, qui n’intéresse pas tous les joueurs de blackjack et auquel nous consacrons un article dédié. Sur la mise principale, l’issue la plus prometteuse est le blackjack naturel — 21 avec vos deux premières cartes. Certaines tables paient cette main à 3:2, d’autres à 6:5, et c’est une différence fondamentale que tout joueur soucieux de sa bankroll doit surveiller.

Comment se calcule le paiement

Les rapports 3:2 et 6:5 expriment la relation entre votre mise et la somme versée quand vous touchez un blackjack naturel — le nombre placé après les deux-points correspond à votre mise, celui qui le précède à vos gains. Traduit en cotes décimales, comme disent les parieurs, un paiement à 3:2 revient à une cote de 2,5 (vous récupérez votre mise et empochez une fois et demie son montant en gains), tandis que le 6:5 ne donne que 2,2 (120 % de la mise en gains, plus la mise restituée). Les exemples du tableau ci-dessous montrent très clairement lequel des deux, 3 contre 2 ou 6 contre 5, est le plus intéressant.

Les joueurs de blackjack aguerris savent que toute règle défavorable peut, en théorie, être compensée par d’autres règles avantageuses. Mais le 6:5 vous annonce que vous serez nettement lésé précisément dans les situations où vous avez obtenu la main la plus forte possible.

L’effet sur l’avantage de la maison

L’avantage de la maison² au blackjack est très variable, mais on l’évalue en moyenne à 0,5 % — à condition que le joueur ne joue pas chaque main au petit bonheur et suive toujours la stratégie de base, c’est-à-dire les coups les plus solides mathématiquement³. Un avantage de la maison de 0,5 % n’est toutefois possible que si le blackjack naturel est payé à 3:2 ; si la maison ne paie qu’à 6:5, cela ajoute automatiquement environ 1,39 % à cet avantage. C’est pourquoi les joueurs expérimentés ne s’assoient presque jamais aux tables qui paient à 6:5 un 21 en deux cartes — cette règle consume votre bankroll environ quatre fois plus vite.

Important : un paiement à 6:5 au lieu de 3:2 pèse plus lourd que presque n’importe quelle règle favorable de la table. Avant d’acheter vos jetons, lisez l’inscription sur le tapis : une table à 6:5 ne vaut pas la peine si une table à 3:2 est ouverte juste à côté.

Les probabilités de base au blackjack

Comme le blackjack se joue avec un ensemble de cartes standard (des jeux de 52 cartes sans joker, d’un seul jeu jusqu’à huit), la probabilité de chacune des principales issues d’une main se calcule. Le tableau ci-dessous montre clairement que les chances de gagner du joueur et du croupier diffèrent : même si le joueur dispose d’options comme séparer (split) et doubler (double down), interdites au croupier, c’est le représentant de la maison qui remportera la main le plus souvent.

Le nombre de jeux de cartes utilisés à une table donnée ne modifie ces probabilités que légèrement — un blackjack naturel sort dans 4,83 % des cas avec un seul jeu et dans environ 4,75 % avec six à huit — mais cela suffit à faire bouger l’avantage de la maison. Sur de courtes séquences (des sessions isolées), la variance est en revanche inévitable : un joueur peut traverser une période faste ou une mauvaise passe. Les joueurs avancés cherchent à améliorer encore leurs chances en comptant les cartes restant dans le sabot (ce qu’il reste des jeux de cartes) : si une grande partie des petites cartes a déjà été distribuée et qu’il reste une majorité d’as et de cartes valant dix, la probabilité d’un blackjack augmente.

Important : le nombre de jeux de cartes ne modifie qu’à peine la probabilité de chaque issue d’une main — un blackjack naturel sort dans 4,83 % des cas avec un seul jeu et dans environ 4,75 % avec huit, et le taux de gain de 42,22 % comme le taux d’égalité de 8,68 % bougent tout aussi peu. Si minimes soient-ils, ces écarts suffisent à déplacer l’avantage de la maison — nous y revenons plus bas.

Les probabilités des issues du croupier

Au blackjack, un joueur doit connaître non seulement ses propres chances d’obtenir une main forte, mais aussi celles du croupier. Le croupier ne joue jamais selon les mêmes règles que le joueur : il ne sépare pas, par exemple, et ne double pas. De plus, il s’arrête à 17 — mais, selon la table, soit uniquement sur un 17 dur (hard), soit aussi sur un 17 souple (soft)⁴. Cette dernière règle compte beaucoup, précisément parce qu’elle varie : privilégiez les tables où le croupier reste sur 17 souple, car c’est une main assez faible que le croupier renonce de lui-même à améliorer sans risque.

Comment lire le tableau

Au blackjack, le joueur prend ses décisions en fonction non seulement de ses propres cartes, mais aussi de la carte visible du croupier (upcard). Aucune carte visible ne garantit vraiment une main forte au croupier (une petite carte peut être complétée par un dix ou un as, et une troisième carte peut ensuite le faire sauter — bust, en anglais), mais on peut calculer la probabilité de saut à partir de la première carte montrée. Pour le joueur, le saut du croupier est l’issue idéale : tant que vous n’avez pas sauté vous-même, vous gagnez, même avec une main très faible.

Saut du croupier selon sa carte visible

Le tableau présente la probabilité que le croupier saute selon la première carte qu’il montre à la table. Le calcul exact peut varier avec les règles propres à chaque table ; précisons donc que toutes les probabilités ci-dessous valent pour une partie à un seul jeu où le croupier reste sur 17 souple. Tous les chiffres s’entendent en outre après le contrôle du croupier (dealer peek) — c’est-à-dire une fois que le croupier a vérifié s’il détient un blackjack naturel⁵.

Cela peut sembler contre-intuitif à première vue, mais avec une grosse carte — un as, une carte valant dix, voire un neuf, un huit ou un sept — la probabilité de saut du croupier est faible : la deuxième carte l’amènera très probablement au seuil de 17, où il s’arrête. Un deux ou un trois reste aussi relativement prometteur pour le croupier — la deuxième carte ne lui fera pas encore atteindre le seuil de 17, mais il gardera une bonne marge pour tirer une troisième carte sans sauter. À l’inverse, un quatre, un cinq ou un six en carte visible crée une situation propice au saut : le croupier risque de rester juste en dessous de 17 et de devoir tirer une troisième carte avec un sérieux risque de dépasser 21.

Avantage de la maison et nombre de jeux de cartes

Le nombre de jeux de cartes au blackjack influe directement sur l’intérêt de la partie : même sans compter délibérément les cartes, un joueur peut remarquer, sur une partie à un seul jeu, que le sabot penche vers les cartes fortes ou faibles, parce que les cartes de valeur opposée ont pour la plupart déjà été distribuées. Le tableau ci-dessous montre comment l’avantage de la maison évolue avec le nombre de jeux — là encore avec un croupier qui reste sur 17 souple et un contrôle du croupier.

D’autres subtilités de règles peuvent corriger les chiffres présentés ici : par exemple, un croupier qui tire sur 17 souple au lieu de rester ajoute environ 0,2 % à l’avantage de la maison, alors que la règle DAS (double after split) le réduit au contraire d’environ 0,12 %⁶.

L’assurance contre le blackjack du croupier (Insurance) est encore moins intéressante pour le joueur : la mise d’assurance porte à elle seule un avantage de la maison d’environ 7,4 % (soit un RTP de 92,6 %), et la prendre systématiquement ajoute environ 0,3 point de pourcentage à l’avantage global du jeu — d’environ 0,5 % à environ 0,8 %. Cette option n’a de réel intérêt que si vous êtes un compteur de cartes expérimenté et que vous n’utilisez la mise d’assurance que lorsque l’avantage est clairement du côté du joueur, et non de la maison. Les autres paris annexes font eux aussi grimper en flèche l’avantage de la maison — selon les conditions du pari, il peut monter à 2–25 %.

La probabilité des séries de gains et de pertes

Connaissant la probabilité de gagner et de perdre chaque main, on peut utiliser la formule P(n) = p^n pour calculer les chances de séries heureuses ou malheureuses — plusieurs résultats identiques d’affilée. Le tableau ci-dessous montre par exemple que sept pertes d’affilée n’ont rien d’exceptionnel : sur une session de 2 à 3 heures à une table avec un vrai croupier (environ 120–240 mains), la probabilité d’en subir au moins une est d’environ 35–60 %, et plus élevée encore au rythme plus soutenu du jeu en ligne (n’oubliez pas la variance).

Pour un joueur réfléchi, la probabilité d’une série de pertes compte davantage que celle d’une série de gains. C’est logique : mieux vaut de toute façon ne pas compter sur des gains futurs — s’ils arrivent, qu’ils soient une bonne surprise ; une série de pertes, en revanche, peut vider toute la bankroll d’un joueur en un rien de temps — surtout s’il mise selon la martingale, en doublant la mise suivante après chaque perte dans l’espoir d’effacer toutes les pertes précédentes d’un seul gain. Nous avons consacré un article à part à la façon dont la martingale fonctionne (ou plutôt, en pratique, ne fonctionne pas) au blackjack — lisez-le pour décider en connaissance de cause de l’utiliser ou non.

Important : une série de sept pertes d’affilée (≈ 0,69 % pour sept mains données) est tout à fait possible sur une session de 2 à 3 heures (une probabilité d’environ 35–60 %) — et c’est exactement ce qui fait échouer la martingale : la bankroll ou la limite de table s’épuise avant que le gain salvateur n’arrive.

Comment utiliser ces chiffres

Les mathématiques auxquelles nous venons de consacrer tant de lignes ont bel et bien une utilité pratique : elles aident le joueur à choisir la table aux conditions les plus favorables et à jouer sans se nuire. Les casinos combinent souvent les règles de sorte que chaque table ait ses points forts et ses points faibles, mais dans l’ensemble, les maths donnent au joueur les repères suivants :

1. avant tout, choisissez une table qui paie le blackjack naturel à 3:2, car un paiement à 6:5 entraîne des pertes sérieuses (et inutiles) en ajoutant 1,39 % à l’avantage de la maison ;
2. toutes choses égales par ailleurs, un croupier qui reste sur 17 souple vaut mieux qu’un croupier qui tire — la différence est d’environ 0,2 % d’avantage ;
3. moins il y a de jeux de cartes, meilleure est la partie — avec un seul jeu et un ensemble complet d’autres règles avantageuses, vous pouvez tabler sur un avantage de la maison d’environ 0,15–0,17 % seulement ;
4. l’assurance contre le blackjack du croupier, surtout prise chaque fois qu’elle est proposée, ne mène nulle part : la mise d’assurance porte à elle seule environ 7,4 %, et la prendre systématiquement ajoute environ 0,3 point à l’avantage global que vous concédez ;
5. les paris annexes, assurance comprise, sont à considérer comme un pur divertissement que le joueur paie au prix fort : ils font miroiter un gain potentiel énorme tout en portant l’avantage à long terme de la maison à 2–25 %.

Trouver une table réunissant toutes les règles avantageuses ne sera pas simple, et il faudra parfois renoncer sciemment à quelque chose ; mais maintenant que vous savez comment les principales subtilités de règles agissent sur les mathématiques du jeu, vous pouvez choisir en connaissance de cause. Gardez toutefois à l’esprit la volatilité des jeux d’argent : en théorie, vous pouvez finir une session gagnant même avec les pires règles, tout comme, à l’inverse, vous pouvez perdre toute votre bankroll alors que les règles semblent jouer en votre faveur.